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定义
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设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为
y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)
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生成条件
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
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定义域
若函数y=f(u)的定义域是B﹐u=g(x)的定义域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是
复合函数的导数D={x|x∈A,且g(x)∈B}
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周期性
设y=f(u),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）
编辑本段
增减性
复合函数单调性依y=f(u),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”
判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；
(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；
(3)判断每个常见函数的单调性；
(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
(5)求出复合函数的单调性。
例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。 复合函数的导数解：函数定义域为R。
令u=x^2-4x+3，y=0.8^u。
指数函数y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数，
u=x^2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，
∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。
利用复合函数求参数取值范围
求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须
将已知的所有条件加以转化。
看作为内层函数的值域和作为外层函数的定义域之间有没有交集。如果有交集，那么就可以构成复合函数。
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，
有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：
当为整式或奇次根式时，R的值域。
当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）。
当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0。
当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
要理解复合函数，先要知道基本初等函数的概念：
一般来讲，基本初等函数归为以下五类：
幂函数：f(x)=xᵃ(a为有理数);
指数函数：f(x)=aˣ(a0且a≠1);
对数函数：f(x)=logₐ(x)(a0且a≠1);
三角函数：f(x)=sin(x)、f(x)=cos(x)...
反三角函数：f(x)=arcsin(x)、f(x)=arccos(x)...
复合函数通俗地说就是函数套函数，是把上述几种基本初等函数的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中含有两个及以上的函数，如y=sin(u)，u=2ᵛ，v=x²，则函数y=sin[2^(x²)]就是y关于x的复合函数，其中x是自变量，u、v都是中间变量，y是应变量。
不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数，复合的过程中要掌握一个原则：内层函数的值域要在其外层函数的定义域内，由内到外，逐层满足，如y=log₂[1-cos(x)]没问题，但y=log₂[cos(x)-2]就不行，显然没有任何x能使y有意义，故求复合函数的定义域时，要综合考虑各部分的x的取值范围，最后取他们的交集，还是以y=log₂[1-cos(x)]为例：内层cos(x)：定义域x∈R；外层log₂[u]:u0→1-cos(x)0→函数的定义域x≠2kπ。
复合函数的性质：
周期性：复合函数的最小正周期为内外层函数最小正周期的最小公倍数，如tan[sin(x)]的最小正周期为2π
单调（增减）性
依内外层的单调性来决定：即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为口诀“同增异减”。如y=ln(x²):
外层为增函数，内层x0时为减函数，x0时为增函数，故复合后：
x0时，内外层增减性相异→复合后为减函数；
x0时，内外层增减性相同→复合后为增函数；
void add1(int x,int y,int z)
{
int a,b,c,n;
a = x*x*x;
b = y*y*y;
c = z*z*z;
n = a+b+c;
}
/*
**add1中，x,y,z,a,b,c,n全部是局部变量，
**当函数add1运行结束，那么这些作用域是这个函数的所有局部变量的空间都将释放
**总的来说，你这个函数运行后，没有任何意义。
*/
int add2(int n)
{
add1();
printf("%d",n);
}
/*
**函数调用，要实参和形参个数一致性。
**所以调用时候应该写成add1(x,y,z);
**至于其他问题，还有……
*/
int main(int m,int n,int q)
{
scanf("%d%d%d",m,n,q);
add1(m,n,q);
getch();
return 0;
}
/*
**第一次见到这样的主函数，长见识了
**不过标准，就是遵循才有意义，
**建议遵循c99的标准。
**定义变量，不要放到主函数的参数内部了。
**有些东西约定是好了。
**至于其他问题，慢慢来，你才开始编写，不急。。。。
**函数分三步：定义，声明，调用，
**好习惯，慢慢养成！！！
*/
/*
**嵌套函数调用
*/
#include stdio.h
int Add1(int x,int y,int z)
{
int a,b,c,n;
a = x*x*x;
b = y*y*y;
c = z*z*z;
n = a+b+c;
return n;
}
int Add2(int Add2_x,int Add2_y,int Add2_z)
{
return Add1(Add2_x,Add2_y,Add2_z);
}
int main(void)
{
int m, n, q;
int Add1(int ,int ,int );
int Add2(int ,int ,int );
scanf("%d%d%d",m,n,q);
printf ("%d",Add2(m,n,q));
system ("pause");
return 0;
}
复合函数的定义域由内层函数和外层函数共同确定的。
函数f(x)，f(g(x))，f(h(x))等函数或复合函数，只要前面对应法则f相同，则定义域的求法为：对应法则f后面括号内的表达式的取值范围相同，即可求出x的范围，即为定义域。
复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。
当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
复合函数定义：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u。
有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：
1、当为整式或奇次根式时，R的值域。
2、当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）。
3、当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0。
复合函数求导的前提：
复合函数本身及所含函数都可导。
法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)。
法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。