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单位矩阵的特点是对角线为1(行号等于列号的单元元素值为1 )，其它元素值为0, 是一个方阵，且有 ，当 矩阵的每个行向量与 矩阵的列向量进行乘的时候，由于 矩阵的行向量第 列才有值，所以相当于从 矩阵的列向量中提取第 个元素的值
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python的numpy 库初始化一个3*3单位矩阵 np.identity(n = 3)
当存在矩阵 与矩阵 相乘满足条件 ，则称 是矩阵 的逆，记作： 。可逆矩阵一定是方阵，非方阵一定不可逆， 只有方阵才有逆 。
单位矩与逆矩阵的关系:
矩阵的负幂计算： ，这一类计算应用的很少。
python的numpy 对矩阵 求逆矩阵 ： invA = np.linalg.inv(A)
在矩阵系统中，大量的矩阵不存在逆矩阵，但总体而言，可逆矩阵在矩阵系统中还是居多的，只是相比不可逆矩阵而言少的多。
满足可逆条件的矩阵称为 可逆矩阵 ，也叫做 ，意思是这种矩阵是非常平凡的矩阵，正规的矩阵(regular-matrix)；而不可逆矩阵则称为 。
① 对矩阵 而言，若存在逆矩阵 则 唯一
② ， 矩阵的逆矩阵的逆还是 ;
反证法证明如下:
③
④ ，矩阵 的转置的逆等于 的逆的转置; 求证:
逆矩阵求法：
方法有很多如（伴随矩阵法，行（列）初等变换等）。以伴随矩阵法来求其逆矩阵。
1、判断题主给出的矩阵是否可逆。
2、求矩阵的代数余子式，A11、A12、A13、A21、A22、A32、A31、A32、A33。
3、求伴随矩阵。
4、得到逆矩阵。
相关性质
(1)A与B的地位是平等的，故A、B两矩阵互为逆矩阵，也称A是B的逆矩阵。
(2)单位矩阵E是可逆的。
(3)零矩阵是不可逆的，即取不到B，使OB=BO=E。
(4)如果A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的。事实上，设B、C都是A的逆矩阵，则有B=BE =B(AC)=(BA)C=EC=C。
你好，下面是一个对应的三阶矩阵求逆的代码
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
matrix1 = [
[1,2,0,0],
[3,4,0,0],
[0,0,4,1],
[0,0,3,2],
]
matrix2 = [
[1,0,-1,2,1],
[3,2,-3,5,-3],
[2,2,1,4,-2],
[0,4,3,3,1],
[1,0,8,-11,4],
]
matrix3 = [
[1,0,-1,2,1,0,2],
[1,2,-1,3,1,-1,4],
[2,2,1,6,2,1,6],
[-1,4,1,4,0,0,0],
[4,0,-1,21,9,9,9],
[2,4,4,12,5,6,11],
[7,-1,-4,22,7,8,18],
]
def step0(m):
n = len(m)
l = []
for i in range(0,n):
l.append([])
for j in range(0,n):
if i == j:
l[i].append(1)
else:
l[i].append(0)
return l
def step1(m):
n = len(m)
"""交换操作记录数组 swap"""
swap = []
l = []
for i in range(0,n):
swap.append(i)
l.append([])
for j in range(0,n):
l[i].append(0)
"""对每一列进行操作"""
for i in range(0,n):
max_row = m[i][i]
row = i
for j in range(i,n):
if m[j][i] = max_row:
max_row = m[j][i]
#global row
row = j
swap[i] = row
"""交换"""
if row != i:
for j in range(0,n):
m[i][j],m[row][j] = m[row][j],m[i][j]
"""消元"""
for j in range(i+1,n):
if m[j][i] != 0:
l[j][i] = m[j][i] / m[i][i]
for k in range(0,n):
m[j][k] = m[j][k] - (l[j][i] * m[i][k])
return (swap,m,l)
def step2(m):
n = len(m)
long = len(m)-1
l = []
for i in range(0,n):
l.append([])
for j in range(0,n):
l[i].append(0)
for i in range(0,n-1):
for j in range(0,long-i):
if m[long-i-j-1][long-i] != 0 and m[long-i][long-i] != 0:
l[long-i-j-1][long-i] = m[long-i-j-1][long-i] / m[long-i][long-i]
for k in range(0,n):
m[long-i-j-1][k] = m[long-i-j-1][k] - l[long-i-j-1][long-i] * m[long-i][k]
return (m,l)
def step3(m):
n = len(m)
l = []
for i in range(0,n):
l.append(m[i][i])
return l
def gauss(matrix):
n = len(matrix)
new = step0(matrix)
(swap,matrix1,l1) = step1(matrix)
(matrix2,l2) = step2(matrix1)
l3 = step3(matrix2)
for i in range(0,n):
if swap[i] != i:
new[i],new[swap[i]] = new[swap[i]],new[i]
for j in range(i+1,n):
for k in range(0,n):
if l1[j][i] != 0:
new[j][k] = new[j][k] - l1[j][i] * new[i][k]
for i in range(0,n-1):
for j in range(0,n-i-1):
if l2[n-1-i-j-1][n-1-i] != 0:
for k in range(0,n):
new[n-1-i-j-1][k] = new[n-1-i-j-1][k] - l2[n-1-i-j-1][n-i-1] * new[n-1-i][k]
for i in range(0,n):
for j in range(0,n):
new[i][j] = new[i][j] / l3[i]
return new
x1 = gauss(matrix1)
x2 = gauss(matrix2)
x3 = gauss(matrix3)
print (x1)
print (x2)
print (x3)
加上头文件
from numpy import *
矩阵有几个特有的属性：
(a) .T －－ 返回自身的转置
(b) .H －－ 返回自身的共轭转置
(c) .I －－ 返回自身的逆矩阵
(d) .A －－ 返回自身数据的2维数组的一个视图