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void func(int a, int n)
{
int i;
for(i = 0; i a; i ++)
printf("*");
printf("\n");
if(a=n) func(a+1, n);
for(i = 0; i a; i ++)
printf("*");
printf("\n");
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",n);
func(1,n);
return 0;
}
层次分析法（AHP）是美国运筹学家萨蒂于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标之间能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
2. 算法基本原理
例子：
在这里插入图片描述
2.1. 解决问题的思路
层次分析法的基本思路是将所要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要达成的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照这些因素的关联影响及其隶属关系，将因素按不同层次凝聚组合，形成一个多层次分析结构模型；最后，对问题进行优劣比较并排列。
2.2. 层次分析法的步骤
1.建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按照他们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
最高层： 决策的目的、要解决的问题。
最低层： 决策时的备选方案。
中间层： 考虑的因素、决策的准则。
对相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重的问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则。
2.构造判断矩阵
层次分析法中构造判断矩阵的方法是一致矩阵法，即：不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较；对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度。
判断矩阵 a i j a_{ij} a
ij
的标度方法
标度 含义
1 表示两个因素相比，具有同样重要性
3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2,4,6,8 上述两相邻判断的中值
倒数 因素 i i i于 j j j比较的判断 a i j a_{ij} a
ij
，则因素 j j j与 i i i比较的判断 a j i = 1 / a i j a_{ji}=1/a_{ij} a
ji
=1/a
ij
3.层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根 λ m a x \lambda max λmax的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和为1）后记为 W W W。 W W W的元素为同一层次元素对于上一层因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
定义一致性指标 C I = λ − n n − 1 CI=\frac {\lambda-n}{n-1} CI=
n−1
λ−n
：
C I = 0 CI=0 CI=0,有完全的一致性；
C I CI CI接近于0，有满意的一致性；
C I CI CI越大，不一致越严重。
为了衡量 C I CI CI的大小，引入随机一致性指标 R I RI RI
随机一致性指标 RI
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义一致性比率： C R = C I R I CR=\frac{CI}{RI} CR=
RI
CI
，一般认为一致性比率 C R 0.1 CR0.1 CR0.1时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对 a i j a_{ij} a
ij
加以调整。
示例：
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
4.层次总排序及其一致性检验
计算某一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的权值，称为层次总排序。
这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
在这里插入图片描述
A层 m m m个因素 A 1 , A 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , A m , A_{1},A_{2},···,A_{m}, A
1
,A
2
,⋅⋅⋅,A
m
,对总目标Z的排序为 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a m a_{1},a_{2},···,a_{m} a
1
,a
2
,⋅⋅⋅,a
m
。
B层 n n n个因素对上层A中因素为 A j A_{j} A
j
的层次单排序为 b 1 j , b 2 j , ⋅ ⋅ ⋅ , b n j ( j = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , m ) b_{1j},b_{2j},···,b_{nj}(j=1,2,3,···,m) b
1j
,b
2j
,⋅⋅⋅,b
nj
(j=1,2,3,⋅⋅⋅,m)。
B层的层次总排序(即B层第 i i i个因素对总目标的权值为： ∑ j = 1 m a j b i j \sum_{j=1}^{m}a_{j}b_{ij} ∑
j=1
m
a
j
b
ij
)为：
B 1 : a 1 b 11 + a 2 b 12 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m b 1 m , B_{1}:a_{1}b_{11}+a_{2}b_{12}+···+a_{m}b_{1m}, B
1
:a
1
b
11
+a
2
b
12
+⋅⋅⋅+a
m
b
1m
,
B 2 : a 1 b 21 + a 2 b 22 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m b 2 m , B_{2}:a_{1}b_{21}+a_{2}b_{22}+···+a_{m}b_{2m}, B
2
:a
1
b
21
+a
2
b
22
+⋅⋅⋅+a
m
b
2m
,
⋅ ⋅ ⋅ ··· ⋅⋅⋅
B n : a 1 b n 1 + a 2 b n 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m b n m , B_{n}:a_{1}b_{n1}+a_{2}b_{n2}+···+a_{m}b_{nm}, B
n
:a
1
b
n1
+a
2
b
n2
+⋅⋅⋅+a
m
b
nm
,
层次总排序的一致性比率为: C R = a 1 C I 1 + a 2 C I 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m C I m a 1 R I 1 + a 2 R I 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m R I m CR=\frac{a_{1}CI_{1}+a_{2}CI_{2}+···+a_{m}CI_{m}}{a_{1}RI_{1}+a_{2}RI_{2}+···+a_{m}RI_{m}} CR=
a
1
RI
1
+a
2
RI
2
+⋅⋅⋅+a
m
RI
m
a
1
CI
1
+a
2
CI
2
+⋅⋅⋅+a
m
CI
m
,当 C R 0.1 CR0.1 CR0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。
例子：
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
3.算法总结
应用领域：经济计划个管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。
构造成对比较矩阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。
4.参考
层次分析法建模——《百度文库》
展开全文
层次分析法（AHP）基础概念整理+步骤总结
层次分析法是用来根据多种准则，或是说因素从候选方案中选出最优的一种数学方法 递阶层次的建立与特点 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。 最顶层是我们的目标，比如说选leader，选工作，选旅游目的地 中间层是判断候选方物或人优劣的因素或标准 选工作时有：发展前途 ，待遇 ，工作环境等 选leader时有：年龄，经验，教育背景，魅力 构造判断矩阵 ...
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层次分析法（AHP）——matlab代码实现
层次分析法（AHP）的主要思想是根据研究对象的性质将要求达到的目标分解为多个组成因素，并按组成因素间的相互关系，将其层次化，组成一个层次结构模型，然后按层分析，最终获得最高层的重要性权值。层次分析法把一个复杂的无结构问题分解组合成若干部分或若干因素，上一层次对相邻的下一层次的全部或某些元素起支配作用，这样就形成了自上而下的层次结构，通过相关指标之间的两两比较对系统中各指标进...
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评论(8)
写评论
DLMU_DH218码龄1年
3
想请问一下，最后得到的权重向量怎么用？毕竟每个特征的数据量纲不一样，能结合例2说一下吗，谢谢了5月前
比比吧哔啵码龄1年
回复DLMU_DH218:不是值最大的为最优方案吗
3月前
忘小寒boy码龄2年
2
怎么感觉此文与知乎某篇文章一致4月前
gnv0_码龄1年
请问大神如果不是这样的层次结构怎么设置权重啊4月前
Mr.Bornapart码龄2年
请问大神，大于9个因素的层次分析法你有吗1年前
pyjiango码龄1年
回复Mr.Bornapart:大于9个因素可以聚类吧，分为几个决策层
5月前
Zero xing码龄1年
其中的n取到几是由什么决定的啊？1年前
bk3333码龄4年1
回复Zero xing:矩阵的维度或者因素的个数啊
1年前
数学建模方法——层次分析法（AHP）
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层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP 在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。...
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层次分析法中判断矩阵的填写方法、一致性检验的步骤、以及根据判断矩阵计算权重的方法
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层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯.塞蒂（T.L.saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和...
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煤炭资源洁净等级评价指标体系包括：宏量组分和微量元素。前者包括硫分和灰分。对于后者，根据可用资料的实际情况，本书采用的有害微量元素共有17种，根据煤中分布及有害性的不同又分为3种不同的层次，分别为：
A类：As（砷），Pb（铅），Hg（汞），Cd（镉），Cr（铬），Se（硒）；
B类：Co（钴），Ni（镍），Mn（锰），Be（铍），Sb（锑），U（铀）；
C类：F（氟），Cl（氯），Mo（钼），Th（钍），Br（溴）。
2.两两比较判断矩阵及其一致性检验方法
（1）两两比较判断矩阵
对大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起着重要作用的问题，直接得到这些元素的权重并不容易，AHP方法使用的是1～9的比较标度，它们的意义如表9-3所示。
表9-3 1～9标度的含义
（2）单一准则下因素排序权重向量
目前常见的计算因素排序权重向量的方法主要有和积法、方根法、特征根法、最小二乘法、对数最小二乘法等几种。此处采用特征根法计算权重向量 W=（W1，W2，…，Wm），步骤为：
1）正互反矩阵A的最大特征值λmax；
2）用AW=λmaxW，解出λmax所对应的特征向量W；
3）W标准化（归一化）后即为同一层次中相应于上一层某个因素Ck的相对重要性的排序权值。
（3）判断矩阵一致性检验
计算出的单层排序权值是否合理，需要进行一致性检验。因为在构造判断矩阵时，由于客观事物的复杂性，会使我们的判断带有主观性和片面性。判断矩阵的一致性检验使用公式：
中国洁净煤地质研究
式中：CR称为一致性比例；RI称为平均一致性指标，其数据见表9-4；CI称为一致性指标：
中国洁净煤地质研究
表9-4 1～9阶判断矩阵的RI值
当CR ＜0.01时，可以认为判断矩阵具有满意的一致性。否则，就必须重新调整判断矩阵中的元素，直至判断矩阵具有满意的一致性为止。
3.不同层次指标的权重向量
根据专家问卷调查并参考大量实际资料和课题组研究成果，得出各指标两两判断矩阵及权重向量，计算结果见表9-5至表9-7。由此，获得煤炭资源洁净等级评价指标体系（图9-5）。
表9-5 宏量组分与微量元素两两判断矩阵与相对权重向量
表9-6 硫分和灰分两两判断矩阵与相对权重向量
表9-7 微量元素与A，B，C类两两判断矩阵与相对权重向量
图9-5 全国煤炭资源洁净等级评价指标体系及权重